El conjuntos de los números enteros y sus propiedades
Los números enteros.
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigorno existe un comienzo
El conjunto de los números enterosestá formado porlos naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Propiedades de los números enteros.
Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto).
Número mayor: Que supera en cantidad a otro.
Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.
El número siguiente a otro, es el número considerado más una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1.
El número anterior a otro, es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1.
Recta numérica. es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una división y la siguiente es siempre la unidad (1).
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada X.
Elementos
Miembros: las expresiones a cada lado de la igualdad. El de la izquierda se llama 1ermiembro. El de la derecha, 2º miembro.
Términos: son los sumando que forman los miembros.
Incógnitas:Son las letras de la ecuación.
Soluciones: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
En
la solución es
x = 2
En
la solución es
x = 1 ó x = -1
Grado de una ecuación: Es el mayor de los grados de los monomios de los dos miembros.
Esta es una ecuación de segundo grado
Esta es una ecuación de primer grado
Como resolver una ecuación:
Agrupar los términos con incógnitas en un mismo lado del miembro.
Realizar las operaciones indicadas en cada miembro de la igualdad.
Despejar la incógnita y tras-poner el término que la acompaña al otro lado de la igualdad.
Ejemplo:
5X + 4 = 3X + 2
1. 5X + 3X = 2 – 4
2. 2X = -2
3. X = -2/2
4. X = -1
Ecuaciones con números enteros:
Una ecuación es una igualdad que contiene un término desconocido que mediante UN PROCESO encontramos su solución.
En toda ecuación debemos identificar dos lados:
lado izquierdo = lado derecho
observe que lo separa el signo igual. Siempre en la ecuación debemos mantener por línea de trabajo un solo signo igual y se trabaja o se desarrolla la ecuación hacia abajo.
Para la ecuación: 7x + 4 = -12
tenemos a 7x + 4 en el lado izquierdo y a -12 en el lado derecho, donde la letra x es la incógnita o variable que edebemos encontrar.
Siempre la incógnita es una letra minúscula que no conocemos y vamos a hallar, es un número determinado ; así toda ecuación tiene una sola solución, la incógnita no puede tener dos valores diferentes.
Empecemos el tema trabajando por partes:
1° ECUACIONES ADITIVAS:
Son ecuaciones de la forma: x + a = b , donde a y b son números enteros, es decir pueden ser positivos ó negativos.
Se trata de dejar la x al lado izquierdo sola sin ninguna cantidad que la acompañe, esto se llama: despejar la incógnita, teniendo encuenta que la incógnita debe quedar positiva.
Observamos la cantidad a que acompaña a la incógnita , teniendo encuenta la operación que realiza : suma ó resta.
Movemos la cantidad a hacia el lado derecho, CAMBIÁNDOLA DE OPERACION : tenga encuenta que la operación en los enteros la determina el signo de las cantidades.
Ejemplo 1 : Hallemos el valor de x en la ecuación:
x + 8 = - 15 , observamos que la incógnita se encuentra acompañada por el 8 , y éste 8 está sumando.
Pasamos el 8 del lado izquierdo al derecho junto al -15 y como está sumando pasa a RESTAR, quedando así:
x = -15 - 8 , como las dos cantidades del lado derecho se puede trabajar, entonces las sumamos porque tienen igual signo:
x = - 23 , y este es el valor de la incógnita que nos piden hallar.
Ahora verifiquemos :
la ecuación inicial es : x + 8 = - 15
en vez de x escribimos el valor que encontramos:
-23 + 8 = -15
el resto de la ecuación se escribe, y sumamos lo planteado :
- 15 = -15 corrrecto se verifica la igualdad.
Ejemplo 2 : Hallemos el valor de la incógnita en la ecuación :
m - 12 = - 9
Igualmente : 12 acompaña a la incónita y está restando; pasa al otro lado del signo igual con operación contraria : a sumar
m = - 9 + 12 ,
observe que el - 12 queda como + 12 por que cambió de operación.
Operamos : m = 3
VERIFICAMOS : La ecuación : m - 12 = - 9
reemplazamos m=3 3 - 12 = - 9
operamos: - 9 = - 9 se verifica
Ejemplo 3 : Resolver : 23 - n = - 30
Observamos que aparece 23 acompañando a la incógnita, y está sumando: 23 = + 23 , pasa al otro lado de la igualdad a restar, tenga en cuenta que la variable está al lado izquierdo y es negativa, luego sigue quedando negativa ya que no la cambiamos de lado:
- n = - 30 - 23 , vemos que el 23 quedó restando ( como - 23 )
pero en los enteros - 30 - 23 es una suma , luego operamos:
- n = - 53 , la incógnita no puede quedar negativa, luego lo que hacemos es cambiar el signo a TODO lado izquierdo y lado derecho, quedando así :
n = 53 que es el valor pedido.
Verifiquemos: 23 - n = - 30
reemplazamos n, 23 - 53 = - 30
operamos :- 30 = -30 , se verifica la igualdad
PRESTA ATENCION AL SIGUIENTE VIDEO:
2° ECUACIONES MULTIPLICATIVAS
Son ecuaciones de la forma ax = b y x / a = b
Donde las cantidades a y b son números enteros
ECUACIONES DE LA FORMA ax=b
Aquí la cantidad a está multiplicando con la incognita; recuerde que la operación multiplicación no se utiliza el signo por, sino el punto ó inclusive no se hace y de tomas manera está implísita la operación.
De manera semejante que el caso anterior: se trata de despejar la cantidad a que está multiplicando con la incógnita pasándola al otro lado de la igualdad con operación contraria : a DIVIDIR, luego baja y dividide a b.
Halle el valor de la incógnita en las ecuaciones:
Ejemplo 1 : 8x = -16
Observamos que la cantidad que acompaña a la incógnita es el 8 y está multiplicando, luego la ubico al otro lado del sigjo igual para que divida a -16, quedando así:
x = -16 , realizamos la división, pero se escribe debajo:
8
x = - 2 , que es el valor de la incógnita.
Verificamos : La ecuación : 8x = -16
reemplazamos x= -2 : 8 . (-2) = -16
multiplicamos : -1 6 = - 16 , se verifica
Ejemplo 2 : - 4 m = 20
Observamos a -4 que acompaña a la incógnita, y está multiplicando; lo pasamos al otro lado del signo igual con operación contraria: divide.
Tenga en cuenta que cambia de lugar con todo y signo ya que la operación es división:
m = 20
-4
luego : m = - 5
Verificamos : -4 m = 20 , ecuación inicial
-4 . (-5) = 20 , reemplazando m
20 = 20 ; se verifica la ecuación
OBSERVE AHORA EL VIDEO:
ECUACIONES DE LA FORMA x = b
a
Aquí la cantidad que acompaña a la incógnita está dividiéndola, luego despejo la incógnita pasando a a al otro lado del signo igual con operación contraria: pasa a MULTIPLICAR.
Hallar el valor de la incógnita en las ecuaciones :
Ejemplo 1 : x = -4
9
Despejamos la incógnita pasando al 9 que está dividiendo la variable
al otro lado del signo igual a MULTIPLICAR:
x = -4 . 9
x = - 36 , que es el valor de la incógnita
Verificamos : x = -4
9
reemplazamos el valor de x : -36 = -4
9
dividimos : - 4 = - 4 , se verifica
Ejemplo 2 : m = - 11
- 7
-7 acompaña a la incógnita y está dividiendo, luego sube a multiplicar al otro lado de la incógnita:
m = -11 . ( -7)
m = 77
Verificamos: m = -11
-7
reemplazando: 77 = -11
- 7
- 11 = - 11 , se verifica la igualdad
OBSERVE EL VIDEO :
3° ECUACIONES COMBINADAS
Son ecuaciones de la forma : ax + b = c
donde a , b , c son números enteros.
Debemos tener en cuenta todo lo anterior en los despejes, pero recordar que primero despejamos las cantidades que se están SUMANDO O RESTANDO y de último lo que se está MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO.
Despejemos: -3n + 9 = - 21
Primero despejamos la cantidad que suma o resta con la incógnita: en éste caso es el 9 que está sumando : + 9
pasa al otro lado del signo igual a restar junto al - 21
- 3n = - 21 - 9
realizamos la operación: - 3 n = - 30
Ahora podemos despejar la cantidad que está multiplicando a n :
n = -30 , pasó a dividir
-3
n = 10 , que es el cociente
Verificando: la ecuación: -3n + 9 = - 21
reemplazando n=10 : -3 . (10) + 9 = -21
por la prioridad de las operaciones primero realizamos la multiplicación:
El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N, y se escribe N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,..}.Este es un conjunto infinito porque, dado un numero natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.
ORDEN EN N
Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de un conjunto. por ejemplo en una carrera de formula 1, no solamente es necesario conocer cuantos carros terminan la carrera; también es importante saber el orden en que llegan a la meta.
Formula I
El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cual es el menor y cual es el mayor. cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:
a es mayor que b. esta relación se escribe a > b
a es menor que b. esta relación se escribe a < b
a es igual a b. esta relación se escribe a = b
Ejemplos:
1. -2 (-3+1) = -2 (-2)=4
2. -3 (-4 + 5) = -3 (1) = -3
3. 3+2 =5
4. 7-2 = 5
5. 2x3 =6
6. 18 = 9
2
Propiedades de los números naturales:
1. Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada, con lo cual, estos números tienen una relación en cuanto al valor de cada cifra se refiere, de tal forma que, siendo a el número primero más pequeño y b, otro de mayor valor se cumple que: a≤b. Esta relación se cumple solamente si existe otro número natural c tal que: a+c=b.
2. El conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, de lo cual se deduce que no es un conjunto vacío, y por tanto, está totalmente ordenado, puesto que siempre existe un número natural que cumple la relación de a≤b. En conclusión:
a) Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en A tal que a<b
b) Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo.
Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y multiplicación:
a)Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro numero natural
b) Existencia del elemento neutro: Un numero natural tal que al ser sumado o multiplicado a otro número natural da ese mismo número.
c) Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado.
