El conjuntos de los números enteros y sus propiedades
Los números enteros.
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigorno existe un comienzo
El conjunto de los números enterosestá formado porlos naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Propiedades de los números enteros.
Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto).
Número mayor: Que supera en cantidad a otro.
Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.
El número siguiente a otro, es el número considerado más una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1.
El número anterior a otro, es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1.
Recta numérica. es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una división y la siguiente es siempre la unidad (1).
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada X.
Elementos
Miembros: las expresiones a cada lado de la igualdad. El de la izquierda se llama 1ermiembro. El de la derecha, 2º miembro.
Términos: son los sumando que forman los miembros.
Incógnitas:Son las letras de la ecuación.
Soluciones: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
En
la solución es
x = 2
En
la solución es
x = 1 ó x = -1
Grado de una ecuación: Es el mayor de los grados de los monomios de los dos miembros.
Esta es una ecuación de segundo grado
Esta es una ecuación de primer grado
Como resolver una ecuación:
Agrupar los términos con incógnitas en un mismo lado del miembro.
Realizar las operaciones indicadas en cada miembro de la igualdad.
Despejar la incógnita y tras-poner el término que la acompaña al otro lado de la igualdad.
Ejemplo:
5X + 4 = 3X + 2
1. 5X + 3X = 2 – 4
2. 2X = -2
3. X = -2/2
4. X = -1
Ecuaciones con números enteros:
Una ecuación es una igualdad que contiene un término desconocido que mediante UN PROCESO encontramos su solución.
En toda ecuación debemos identificar dos lados:
lado izquierdo = lado derecho
observe que lo separa el signo igual. Siempre en la ecuación debemos mantener por línea de trabajo un solo signo igual y se trabaja o se desarrolla la ecuación hacia abajo.
Para la ecuación: 7x + 4 = -12
tenemos a 7x + 4 en el lado izquierdo y a -12 en el lado derecho, donde la letra x es la incógnita o variable que edebemos encontrar.
Siempre la incógnita es una letra minúscula que no conocemos y vamos a hallar, es un número determinado ; así toda ecuación tiene una sola solución, la incógnita no puede tener dos valores diferentes.
Empecemos el tema trabajando por partes:
1° ECUACIONES ADITIVAS:
Son ecuaciones de la forma: x + a = b , donde a y b son números enteros, es decir pueden ser positivos ó negativos.
Se trata de dejar la x al lado izquierdo sola sin ninguna cantidad que la acompañe, esto se llama: despejar la incógnita, teniendo encuenta que la incógnita debe quedar positiva.
Observamos la cantidad a que acompaña a la incógnita , teniendo encuenta la operación que realiza : suma ó resta.
Movemos la cantidad a hacia el lado derecho, CAMBIÁNDOLA DE OPERACION : tenga encuenta que la operación en los enteros la determina el signo de las cantidades.
Ejemplo 1 : Hallemos el valor de x en la ecuación:
x + 8 = - 15 , observamos que la incógnita se encuentra acompañada por el 8 , y éste 8 está sumando.
Pasamos el 8 del lado izquierdo al derecho junto al -15 y como está sumando pasa a RESTAR, quedando así:
x = -15 - 8 , como las dos cantidades del lado derecho se puede trabajar, entonces las sumamos porque tienen igual signo:
x = - 23 , y este es el valor de la incógnita que nos piden hallar.
Ahora verifiquemos :
la ecuación inicial es : x + 8 = - 15
en vez de x escribimos el valor que encontramos:
-23 + 8 = -15
el resto de la ecuación se escribe, y sumamos lo planteado :
- 15 = -15 corrrecto se verifica la igualdad.
Ejemplo 2 : Hallemos el valor de la incógnita en la ecuación :
m - 12 = - 9
Igualmente : 12 acompaña a la incónita y está restando; pasa al otro lado del signo igual con operación contraria : a sumar
m = - 9 + 12 ,
observe que el - 12 queda como + 12 por que cambió de operación.
Operamos : m = 3
VERIFICAMOS : La ecuación : m - 12 = - 9
reemplazamos m=3 3 - 12 = - 9
operamos: - 9 = - 9 se verifica
Ejemplo 3 : Resolver : 23 - n = - 30
Observamos que aparece 23 acompañando a la incógnita, y está sumando: 23 = + 23 , pasa al otro lado de la igualdad a restar, tenga en cuenta que la variable está al lado izquierdo y es negativa, luego sigue quedando negativa ya que no la cambiamos de lado:
- n = - 30 - 23 , vemos que el 23 quedó restando ( como - 23 )
pero en los enteros - 30 - 23 es una suma , luego operamos:
- n = - 53 , la incógnita no puede quedar negativa, luego lo que hacemos es cambiar el signo a TODO lado izquierdo y lado derecho, quedando así :
n = 53 que es el valor pedido.
Verifiquemos: 23 - n = - 30
reemplazamos n, 23 - 53 = - 30
operamos :- 30 = -30 , se verifica la igualdad
PRESTA ATENCION AL SIGUIENTE VIDEO:
2° ECUACIONES MULTIPLICATIVAS
Son ecuaciones de la forma ax = b y x / a = b
Donde las cantidades a y b son números enteros
ECUACIONES DE LA FORMA ax=b
Aquí la cantidad a está multiplicando con la incognita; recuerde que la operación multiplicación no se utiliza el signo por, sino el punto ó inclusive no se hace y de tomas manera está implísita la operación.
De manera semejante que el caso anterior: se trata de despejar la cantidad a que está multiplicando con la incógnita pasándola al otro lado de la igualdad con operación contraria : a DIVIDIR, luego baja y dividide a b.
Halle el valor de la incógnita en las ecuaciones:
Ejemplo 1 : 8x = -16
Observamos que la cantidad que acompaña a la incógnita es el 8 y está multiplicando, luego la ubico al otro lado del sigjo igual para que divida a -16, quedando así:
x = -16 , realizamos la división, pero se escribe debajo:
8
x = - 2 , que es el valor de la incógnita.
Verificamos : La ecuación : 8x = -16
reemplazamos x= -2 : 8 . (-2) = -16
multiplicamos : -1 6 = - 16 , se verifica
Ejemplo 2 : - 4 m = 20
Observamos a -4 que acompaña a la incógnita, y está multiplicando; lo pasamos al otro lado del signo igual con operación contraria: divide.
Tenga en cuenta que cambia de lugar con todo y signo ya que la operación es división:
m = 20
-4
luego : m = - 5
Verificamos : -4 m = 20 , ecuación inicial
-4 . (-5) = 20 , reemplazando m
20 = 20 ; se verifica la ecuación
OBSERVE AHORA EL VIDEO:
ECUACIONES DE LA FORMA x = b
a
Aquí la cantidad que acompaña a la incógnita está dividiéndola, luego despejo la incógnita pasando a a al otro lado del signo igual con operación contraria: pasa a MULTIPLICAR.
Hallar el valor de la incógnita en las ecuaciones :
Ejemplo 1 : x = -4
9
Despejamos la incógnita pasando al 9 que está dividiendo la variable
al otro lado del signo igual a MULTIPLICAR:
x = -4 . 9
x = - 36 , que es el valor de la incógnita
Verificamos : x = -4
9
reemplazamos el valor de x : -36 = -4
9
dividimos : - 4 = - 4 , se verifica
Ejemplo 2 : m = - 11
- 7
-7 acompaña a la incógnita y está dividiendo, luego sube a multiplicar al otro lado de la incógnita:
m = -11 . ( -7)
m = 77
Verificamos: m = -11
-7
reemplazando: 77 = -11
- 7
- 11 = - 11 , se verifica la igualdad
OBSERVE EL VIDEO :
3° ECUACIONES COMBINADAS
Son ecuaciones de la forma : ax + b = c
donde a , b , c son números enteros.
Debemos tener en cuenta todo lo anterior en los despejes, pero recordar que primero despejamos las cantidades que se están SUMANDO O RESTANDO y de último lo que se está MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO.
Despejemos: -3n + 9 = - 21
Primero despejamos la cantidad que suma o resta con la incógnita: en éste caso es el 9 que está sumando : + 9
pasa al otro lado del signo igual a restar junto al - 21
- 3n = - 21 - 9
realizamos la operación: - 3 n = - 30
Ahora podemos despejar la cantidad que está multiplicando a n :
n = -30 , pasó a dividir
-3
n = 10 , que es el cociente
Verificando: la ecuación: -3n + 9 = - 21
reemplazando n=10 : -3 . (10) + 9 = -21
por la prioridad de las operaciones primero realizamos la multiplicación:
