Obj.3

                    Ecuaciones con números naturales y enteros

                     Ecuaciones con números naturales

Definición 

 Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada X.

Elementos 

Miembros: las expresiones a cada lado de la igualdad. El de la izquierda se llama 1^ermiembro. El de la derecha, 2º miembro. 

Términos: son los sumando que forman los miembros.

                             

Incógnitas: Son las letras de la ecuación.

 

Soluciones: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

En    la solución es x = 2

En    la solución es x = 1   ó   x = -1

Grado de una ecuación: Es el mayor de los grados de los monomios de los dos miembros.

	Esta es una ecuación de segundo grado
	Esta es una ecuación de primer grado

Como resolver una ecuación:

• Agrupar los términos con incógnitas en un mismo lado del miembro.
• Realizar las operaciones indicadas en cada miembro de la igualdad.
• Despejar la incógnita y tras-poner el término que la acompaña al otro lado de la igualdad.

Ejemplo:

5X + 4 = 3X + 2

1. 5X + 3X = 2 – 4

2. 2X = -2

3. X = -2/2

4. X = -1

Ecuaciones con números enteros:

Una ecuación es una igualdad que contiene un término desconocido que mediante UN PROCESO  encontramos su solución.

En toda ecuación debemos identificar dos lados:

                      lado izquierdo  =   lado derecho

observe que lo separa el signo igual. Siempre en la ecuación debemos mantener por línea de trabajo un solo signo igual y se trabaja o se desarrolla la ecuación  hacia abajo.

Para la ecuación:         7x   +  4   =   -12

tenemos a   7x + 4   en el lado izquierdo  y a  -12   en el lado derecho, donde la letra   x  es la incógnita o variable que edebemos encontrar.

Siempre la incógnita es una letra minúscula que no conocemos y vamos a hallar, es un número determinado ; así toda ecuación tiene una sola solución, la incógnita no puede tener dos valores diferentes.

Empecemos el tema trabajando por partes:

1° ECUACIONES ADITIVAS:

Son ecuaciones de la forma:     x + a = b     , donde   a   y   b   son números enteros, es decir pueden ser positivos ó negativos.

Se trata de dejar la x al lado izquierdo sola sin ninguna cantidad que la acompañe, esto se llama: despejar la incógnita, teniendo encuenta que la incógnita debe quedar  positiva.

Observamos la cantidad  a  que acompaña a la incógnita , teniendo encuenta la operación que realiza :  suma ó resta.

Movemos la cantidad   a  hacia el lado derecho, CAMBIÁNDOLA DE OPERACION :  tenga encuenta que la operación en los enteros la determina el signo de las cantidades.

Ejemplo 1 :  Hallemos el valor de x en la ecuación:

 x  +  8  =  - 15      ,      observamos que la incógnita se encuentra acompañada por el  8 , y éste 8 está sumando.

Pasamos el  8 del lado izquierdo al derecho junto al  -15  y como está sumando pasa a RESTAR,  quedando así:

x    =   -15 - 8        ,    como las dos cantidades del lado derecho se puede trabajar, entonces las sumamos porque tienen igual signo:

x   =  - 23        , y este es el valor de la incógnita que nos piden hallar.

Ahora verifiquemos :

la ecuación inicial  es   :                 x  +  8  =  -  15

en vez de x escribimos el valor que encontramos:

                                                  -23  + 8  =  -15

el resto de la ecuación se escribe, y sumamos lo planteado :

                  - 15   =   -15    corrrecto     se verifica la igualdad.

Ejemplo 2 :   Hallemos el valor de la incógnita en la ecuación :

                                    m   -   12   =    - 9

Igualmente :    12 acompaña a la incónita y está restando; pasa al otro lado del signo igual  con operación contraria :  a sumar

    m   =   -  9  +  12      , 

observe que el  -  12   queda como  +  12  por que cambió de operación.

Operamos :       m   =   3

 VERIFICAMOS  :    La ecuación :       m  -   12   =  - 9

reemplazamos m=3                              3   -  12  =  - 9

operamos:                                                 - 9    =  - 9     se verifica

Ejemplo 3 :   Resolver :      23 - n  =   - 30

Observamos que aparece 23 acompañando a la incógnita,  y está sumando:    23  =   +  23   , pasa al otro lado de la igualdad a restar, tenga en cuenta que la variable está al lado izquierdo y es negativa, luego sigue quedando negativa ya que no la cambiamos de lado:

     - n =  - 30  -  23     , vemos que el 23  quedó restando  ( como   - 23 )

pero en los enteros   - 30  -  23   es una suma , luego operamos:

  - n   =   - 53    , la incógnita no puede quedar negativa, luego lo que hacemos es cambiar el signo a TODO lado izquierdo y lado derecho, quedando así  :

                                     n   =   53        que es el valor pedido.

Verifiquemos:               23   -   n   =   - 30

reemplazamos  n,        23    -  53   =   -  30

operamos :                                                 - 30  =    -30      , se verifica la igualdad

 PRESTA ATENCION AL SIGUIENTE VIDEO:

                          

 2°  ECUACIONES  MULTIPLICATIVAS

Son ecuaciones de la forma     ax =  b       y         x / a =  b 

Donde las cantidades    a   y   b  son números enteros   

ECUACIONES DE LA FORMA   ax=b

Aquí la cantidad    a  está multiplicando con la incognita; recuerde que la operación multiplicación no se utiliza el signo por, sino el punto ó inclusive no se hace y de tomas manera está implísita la operación.

De manera semejante que el caso anterior: se trata de despejar la cantidad  a  que está multiplicando con la incógnita pasándola al otro lado de la igualdad con operación contraria  :  a DIVIDIR, luego baja y dividide a b.

Halle el valor de la incógnita en las ecuaciones:

Ejemplo 1 :      8x = -16

Observamos que la cantidad que acompaña a la incógnita es el 8 y está multiplicando, luego la ubico al otro lado del sigjo igual para que divida a -16, quedando así:

    x  =   -16  ,                  realizamos la división, pero se escribe debajo:

               8

   x   =    - 2     ,    que es el valor de la incógnita.

Verificamos   :      La ecuación  :       8x  =   -16

reemplazamos x= -2       :                8 . (-2)  =  -16

multiplicamos :                                   -1 6   =   - 16   , se verifica

Ejemplo 2 :     - 4 m  =  20

Observamos  a  -4  que acompaña a la incógnita, y está multiplicando; lo pasamos al otro lado del signo igual con operación contraria: divide.

Tenga en cuenta que cambia de lugar con todo y signo ya que la operación es división:

   m   =    20

               -4

 luego  :       m   =    -   5

Verificamos :       -4 m      =  20     , ecuación  inicial

                            -4 . (-5) =  20      , reemplazando m

                                   20  =  20    ; se   verifica la ecuación 

OBSERVE AHORA EL VIDEO:

                             

 ECUACIONES DE LA FORMA   x = b

                                                  a

Aquí la cantidad que acompaña a la incógnita está dividiéndola, luego despejo la incógnita pasando a a  al otro lado del signo igual con operación contraria: pasa a MULTIPLICAR.

Hallar el valor de la incógnita en las ecuaciones :

Ejemplo 1 :      x   =    -4

                         9 

Despejamos la incógnita pasando al 9 que está dividiendo la variable 

 al otro lado del signo igual  a MULTIPLICAR:

    x   =   -4 . 9

    x   =   -   36     ,  que es el valor de la incógnita

Verificamos    :            x    =    -4

                                     9 

reemplazamos  el valor de x  :              -36  =  -4

                                                                  9

                                      dividimos :       - 4   =   -  4    , se verifica

Ejemplo 2 :       m   =   - 11

                        - 7   

-7 acompaña a la incógnita y está dividiendo, luego sube a multiplicar al otro lado de la incógnita:

       m  =   -11  .  ( -7)

       m   =    77

Verificamos:           m   =   -11

                             -7

reemplazando:       77    =   -11

                             - 7

                              - 11   =   - 11    ,  se verifica la igualdad

 OBSERVE EL VIDEO :

                       

 3°  ECUACIONES COMBINADAS

Son ecuaciones de la forma  :    ax  +  b  =  c     

donde a , b , c   son números enteros.

Debemos tener en cuenta todo lo anterior en los despejes, pero recordar que primero despejamos las cantidades que se están  SUMANDO O RESTANDO y de último lo que se está MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO. 

Despejemos:             -3n  +  9   =   - 21

Primero despejamos la cantidad que suma o resta con la incógnita:  en éste caso es el 9 que está sumando :   +  9

pasa al otro lado del signo igual a restar junto al - 21

     - 3n  =   - 21  -  9

realizamos la operación:         -  3 n  =   - 30

Ahora podemos despejar la cantidad que está multiplicando a   n :

              n   =    -30       ,  pasó a dividir

                         -3

              n   =    10       , que es el cociente

Verificando:     la ecuación:     -3n  +  9  =  - 21

reemplazando n=10      :      -3 . (10)  + 9  =  -21

por la prioridad de las operaciones primero realizamos la multiplicación:

                                      - 30   +  9  =   -21

                                               - 21  =  - 21

   OBSERVA EL SIGUIENTE VIDEO: